Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

БОО из вершины O пирамиды выходит хотя бы 5 синих отрезков, пусть они соединяют O с точками A, B, C, D, E, (по часовой стрелке) один из отрезков AB, BC, CD, DE, EA является диагональю, иначе все они - стороны, тогда основание - пятиугольник, противоречие. Пусть AB - диагональ. Рассмотрим треугольник ABD. Если не все его стороны одного цвета, то какая-то сторона - синяя. Пусть XY - синяя сторона, тогда XOY - искомый треугольник.