қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Для положительных чисел $a$, $b$, $c$ верно равенство $abc=1$.
Докажите неравенство: $a^{b + c} \cdot b^{c + a} \cdot c^{a + b} \leq 1$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Множество $X$ состоит из шести элементов. Каждое из множеств
$A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ — трехэлементные подмножества множества $X$.
Докажите, что можно раскрасить элементы множества $X$
в два цвета так, что не все элементы каждого из множеств $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ будут одинакового цвета.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3.
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$.
Точки $P$ и $K$ — середины отрезков $AO$ и $BC$ соответственно.
Известно, что $\angle CBA = 4\angle OPK$ и $\angle ACB = 6\angle OPK$.
Найдите угол $\angle OPK$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник. Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий (стороны основания не закрашиваются). Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все пары $(a, b)$ действительных чисел, удовлетворяющих следующей системе уравнений:
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
2^{a^4 + b^2 } + 2^{a^2 + b^4 } = 8, \cr
a + b = 2. \cr
\end{array}
\right.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Через точку $D$ проводится прямая $\alpha$, отличная от $BC$. На прямой $\alpha$ выбраны две точки $E$ и $F$ такие, что углы $AEB$ и $AFC$ — прямые. $L$ — середина $EF$, $M$ — середина $BC$. Найдите угол $ALM$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. На шахматной доске $n\times n$ расставлены $2n$ пешек (пешка ставится в центр клетки). Докажите, что найдутся четыре пешки, которые находятся в вершинах некоторого параллелограмма.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Найдите все функции $f:(1; + \infty ) \to ( - \infty ; + \infty )$ такие,
что для всех действительных чисел $x>1$ и $y>1$ справедливо равенство
$$
f(x) - f(y) = (y - x)f(xy).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)