Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Қандай да бір натурал $a$ санын қалдықпен 1, 2, 3, $\ldots$, 1000 сандарына бөлді. Қалдықтардың ішінде 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99 қалдықтары дәл 10 реттен кездесуі мүмкін бе? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Пусть $a \equiv b \pmod{100}$. Тогда $a \equiv b + 100k \pmod{100t}$, для $t \in [1, 10], k \geq 0$. Но так как возможные остатки меньше $100$ то, $k = 0$. Но тогда $a \equiv b \pmod{250}$. Значит остаток $b$ встречается не меньше $11$ раз.