Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

$y=x+b\sqrt{x}+c$ функциясының графигі мен ординат осінің ортақ $C$ нүктесі бар, бұл жерде $c > 0$, ал сол график абсцисса өсін $X_1$ және $X_2$ нүктелерінде қияды. $O$ арқылы координат басын белгілейік. $\angle CX_1O+\angle CX_2O = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Шкловер )

Комментарий/решение

Заметим, что координаты точки $C(0,c)$. Пусть $x_{1}, x_{2}$ корни это уравнения. Заметим, что $x_{1}, x_{2} \geq 0$. Тогда достаточно показать, что $\frac{OX_{1}}{OC}=\frac{OC}{OX_{2}} \Rightarrow OC^2=OX_{1} \cdot OX_{2} \Rightarrow x_{1}x_{2}=c^2$. По теореме Виета для $y = x+b\sqrt{x}+c \Rightarrow \sqrt{x_{1}} \cdot \sqrt{x_{2}} = c \Rightarrow x_{1}x_{2}=c^2$, что и требовалось доказать.