58-я Международная Математическая OлимпиадаБразилия, Рио-де-Жанейро, 2017 год

Аңшы және көзге көрінбейтін қоян жазықтықта келесі ойын ойнайды. Қоянның бастапқы нүктесі $A_0$, және аңшының бастапқы нүктесі $B_0$, екеуі бірдей екен. Ойынның $n-1$ раундтан кейін, қоян $A_{n-1}$ деген нүктеде түр, ал аңшы $B_{n-1}$ деген нүктеде түр. Ойынның $n$-інші раунд кезінде, келесі үш нәрсе ретінде орындалады.
(i) Қоян, көзге көрінбей, $A_{n-1}$ мен $A_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай $A_{n}$ деген нүктеге өтеді.
(ii) Бақылау аппараты аңшыға $P_{n}$ деген нүктені көрсетеді. Мұнда бақылау аппараты $P_{n}$ мен $A_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы 1-ден аспайтынын ғана кепіл береді.
(iii) Аңшы, $B_{n-1}$ мен $B_{n}$ нүктелер арасында қашықтығы дәл 1 болатындай, көрінетін бір $B_{n}$ деген нүктеге өтеді. Қоян қалай жүрсе де және бақылау аппараты қандай нүктелер көрсетсе де, $10^9$ раундтан кейін аңшы мен қоян арасында қашықтығы 100-ден аспайтынына кепіл ету үшін, аңшы қалай жүру керек өзіне әрқашан таңдай ала ма?