Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

Шесть попарных расстояний между четырьмя различными точками на плоскости равны $a,~a,~a,~a,~2a,~b$. Найдите отношение $\frac{b}{a}$.

Комментарий/решение

Из условия следует, что какие то три точки, обязательно лежат на одной прямой. Положим что это $A,B,C$ расстояния соответственно равны $a,a,2a$, тогда последняя точка $D$ будет образовывать равносторонний треугольник с точками $B,D$ . Тогда $AD=b=\sqrt{(2a)^2+a^2 -2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos60^{o}}=\sqrt{3}a$ . Ответ $\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}$