Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

Жазықтықта әртүрлі төрт нүкте берілген. Осы нүктелерді қос-қостан алғанда шығатын алты кесіндінің ұзындықтары $a$, $a$, $a$, $a$, $2a$, $b$–ға тең. $\dfrac{b}{a}$ қатынасының мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Из условия следует, что какие то три точки, обязательно лежат на одной прямой. Положим что это $A,B,C$ расстояния соответственно равны $a,a,2a$, тогда последняя точка $D$ будет образовывать равносторонний треугольник с точками $B,D$ . Тогда $AD=b=\sqrt{(2a)^2+a^2 -2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos60^{o}}=\sqrt{3}a$ . Ответ $\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}$