Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып


$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $AB$ қабырғасы $AC$ қабырғасынан үлкен. $\angle ACD=\angle CBD$ болатындай $AB$ қабырғасынан $D$ нүктесі алынған. $E$ нүктесі $BD$ кесіндісінің ортасы, ал $S$ нүктесі $BCD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $A$, $E$, $S$ және $C$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2017-11-28 14:38:12.0 #

Проведем прямую SE. Т.к. треугольник SBD равнобедренный, а Е- его медиана, то угол SED=90. Т.к. угол ACD равен углу CBD, то прямая AC- касательная к окружности, описанной около BDC, и так как S - центр этой окружности, то угол SCA=90. Сумма углов SCA и SEA равна 180, поэтому четырехугольник ACSE - описанный, что и требовалось доказать.