Областная олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс


В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $AC$. На стороне $AB$ выбрана такая точка $D$, что $\angle ACD=\angle CBD$. Точка $E$ — середина отрезка $BD$, а $S$ — центр окружности, описанной около треугольника $BCD$. Докажите, что точки $A$, $E$, $S$ и $C$ лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2017-11-28 14:38:12.0 #

Проведем прямую SE. Т.к. треугольник SBD равнобедренный, а Е- его медиана, то угол SED=90. Т.к. угол ACD равен углу CBD, то прямая AC- касательная к окружности, описанной около BDC, и так как S - центр этой окружности, то угол SCA=90. Сумма углов SCA и SEA равна 180, поэтому четырехугольник ACSE - описанный, что и требовалось доказать.