Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 8 сынып

$ABC$ тікбұрышты үшбұрышында сүйір бұрыштардан $AP$ және $BQ$ биссектрисалары жүргізілді, ал $ACP$ және $BCQ$ үшбұрыштарында $CM$ және $CN$ медианалары жүргізілген. $CMP$ және $CNQ$ бұрыштарының қосындысы $MPQ$, $NCM$ және $PQN$ бұрыштарының қосындысына тең екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $BQ $ пересечет $AP $ в точке $E$, тогда $\angle AEB=135$(так как $\angle {EAB}=\dfrac{\angle A}{2}$;$\angle EBA=\dfrac{\angle B}{2} $; $\angle AEB =180-(\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac {\angle B}{2})=135$.

Откуда $\angle QEP=\angle AEB=135$ как вертикальные. Откуда $\angle PQN+\angle MPQ=180-\angle QEP =45$; Так как $CM $- медиана из прямоугольного угла $C $, то $CM=AM=MP $, аналогично $CN=QN=NB$. Получается , что треугольники $ AMC $ и $CNB $- равнобедренные, откуда следует равенства углов: $\angle QCM=\angle MAC $ и $\angle NCB=\angle NBC $. Откуда $\angle MCN=45$, то есть $ \angle MPQ +\angle NCM+\angle PQN =90$; $\angle CMP=\angle MAC+\angle QCM =\angle A $(как внешний угол треугольника AMC)

Аналогично $\angle CNQ=\angle B $

То есть $\angle CMP +\angle CNQ =\angle A+\angle B=90$. Получаем $$\angle MPQ +\angle NCM +\angle PQN =\angle CMP +\angle CNQ $$, что и требовалось доказать