Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Докажите, что число $2003\cdot 2005\cdot 2007 \cdot 2009+16$ является полным квадратом.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В ящике находится 2003 черных шаров и 2004 белых. Из ящика извлекаются наугад 2 шара. Если их цвет оказывается одинаковым, то в ящик вместо вынутой пары опускается черный шар, если же цвета различны — то белый шар. Так происходит до тех пор, пока в ящике не останется один шар. Какого он цвета?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Два стрелка произвели по 5 выстрелов, причем попадания были следующие: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Первыми тремя выстрелами они выбили одинаковые количество очков, а тремя последними выстрелами первый стрелок выбил втрое больше, чем второй. Определите, сколько очков набрал каждый из них третьим выстрелом.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы острых углов $AP$ и $BQ$, а в треугольниках $ACP$ и $BCQ$ — медианы $CM$ и $CN$ соответственно. Докажите, что сумма углов $CMP$ и $CNQ$ равна сумме углов $MPQ$, $NCM$, и $PQN$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что если $a$, $b$, $c$ и $\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$ — целые, то и число $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ — целое.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Про три простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Найдите эти числа.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  В $\triangle ABC$ угол $B$ три раза больше угла $A$ и в шесть раз больше угла $C$, а сторона $BC$ на 1 см. меньше стороны $AC$. Найдите длину биссектрисы $BL$.
комментарий/решение(1)
Задача №9.  Решить уравнение: $\left [\frac{6x+5}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$, где через $[a]$ обозначена целая часть действительного числа $a$.
комментарий/решение(2)
Задача №10.  В левом нижнем углу шахматной доски $5 \times 5$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?
комментарий/решение(1)