Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2013 жыл

${{p}^{2}}-pq-{{q}^{3}}=1$ теңдеуін жай сандар үшін шешіңіз ( А. Голованов )

Комментарий/решение

легко понять что $p=3k+1$

$1)$$q\equiv 1 \pmod {3}$ тогда $p(p-q)=(q+1)(q^2-q+1)$ левая часть делится на $3$ а правая нет

$2)$$q\equiv 2 \pmod {3}$ тогда $p(p-q)=(q+1)(q^2-q+1)$ правая часть делится на $9$ а левая тоже но т.к. $p=3k+1$ и $q=3m+2$ это невозможно тогда $q=3$ методом перебора заметим ответ $p=7$