Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2004 год

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Найдите $\angle XBY$, если $\angle ABC = 90^\circ$. ( А. Смирнов )

Комментарий/решение

$$ \triangle AXY_0: \angle AY_0X+\angle AXY_0+\angle B_0AY_0 +\angle BAX + \angle BAB_0=180^o$$

$$ \angle AXY_0 = \angle AB_0Y_0 \quad \angle BAX = \angle B_0AY_0 \Rightarrow \angle BAX+\angle B_0AY_0 =45^0 \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow XAY_0=XBY=135^o $$

$I-$инцентр.

$\angle AXC=\angle AYC=90.$ по известной лемме $(255)$: проекция $A$ на биссектрису угла $C$ лежит также на прямой $PQ$, проекция $C$ на биссектрису угла $A$ тоже лежит на $PQ$. Тогда $X,Y-$ середины дуг (меньших) $AB,BD$ соответственно. Поэтому по лемме о трезубце: $\angle XBY=\angle XIY=\angle AIC=135$.