53-я Международная Математическая OлимпиадаАргентина, Мар-дель-Плата, 2012 год

Пусть $ABC$ — треугольник, в котором $\angle BCA=90{}^\circ $, и пусть $D$ — основание высоты, проведенной из вершины $C$. Внутри отрезка $CD$ взята точка $X$. Пусть $K$ — точка, лежащая на отрезке $AX$ такая, что $BK=BC$. Аналогично, пусть $L$ — точка, лежащая на отрезке $BX$ такая, что $AL=AC$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $BK$. Докажите, что $MK=ML$.

Комментарий/решение

Отразим $С$ относительно $D$ в $R$ . Легко увидеть что B центр $(CKR)$ и $A$ центр $(CLR)$. Пусть $AX \cap (CKR)=P$ и $BX \cap (CLR)=Q$. Заметим что $PX \times XA=CX \times XR=LX \times XQ$ значит $PLKQ$-вписанный. Заметим что $AL^2=AC^2=AK \times AP$ и $BK^2=BC^2=BL\times BQ$ значит $AL$ и $BK$ касаются $(PLKQ)$ в $L$ и $K$ соответственно. Отсюда легко увидеть что $LM=MK$