Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата

$\angle BCA=90{}^\circ $ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген, $D$ нүктесі $C$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. $CD$ кесіндісінің ішінен $X$ нүктесі алынған. $BK=BC$ болатындай $AX$ кесіндісінен $K$ нүктесі алынған. Дәл осылай, $AL=AC$ болатындай $BX$ кесіндісінен $L$ нүктесі алынған. $M$ — $AL$ және $BK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. $MK=ML$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Отразим $С$ относительно $D$ в $R$ . Легко увидеть что B центр $(CKR)$ и $A$ центр $(CLR)$. Пусть $AX \cap (CKR)=P$ и $BX \cap (CLR)=Q$. Заметим что $PX \times XA=CX \times XR=LX \times XQ$ значит $PLKQ$-вписанный. Заметим что $AL^2=AC^2=AK \times AP$ и $BK^2=BC^2=BL\times BQ$ значит $AL$ и $BK$ касаются $(PLKQ)$ в $L$ и $K$ соответственно. Отсюда легко увидеть что $LM=MK$