Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2001 год

Решите в натуральных числах уравнение: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2001}$.

Комментарий/решение

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2001} \Leftrightarrow 2001y+2001x=xy.$

Екі жағына $2001^2$ қосамыз. $xy-2001y-2001x+2001^2=2001^2.$

$y(x-2001)-2001(x-2001)=2001^2 \Rightarrow (x-2001)(y-2001)=2001^2$

$2021^2=4004001$ санының бөлгіштері: $1, 3, 9, 23, 29, 69, 87, 207, 261, 529, 667, 841, 1 587, 2 001, 2 523, 4 761, 6 003, 7 569, 15 341, 19 343, 46 023, 58 029, 138 069, 174 087, 444 889, 1 334 667, 4 004 001.$