VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год

Определите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами такие, что для любого рационального $r$ уравнение $P(x) = r$ имеет рациональное решение. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Покажем, что ответ это линейный многочлен $P(x)=d \cdot x + c, d \ne 0, d,c \in \mathbb{R}$. Несложно заметить что постоянный многочлен не удовлетворяет условию задачи. Тогда $P(x)$ не постоянный многочлен. Покажем что коэффициенты P(x) рациональные числа. Пусть $deg(P(x)) = n$, рассмотрим $r_{1}, r_{2},...,r_{n+1} \in \mathbb{R}$ и $x_{1}, x_{2},...,x_{n+1} \in \mathbb{R}$ такие, что $P(x_{i}) = r_{i}, 1 \leq i \leq n+1$. Тогда можно записать интерполяционный многочлен Лагранжа: $$P(x) = \sum \limits_{i=1}^{n + 1}{r_{i}} \cdot \frac{\prod \limits_{j \ne i}{(x-x_{j})}}{\prod \limits_{j \ne i}{(x_{i}-x_{j})}}$$ Отсюда несложно заметить, что все коэффициенты $P(x)$ рациональны. Так как помноженный на константу $P(x)$ также будет удовлетворять условию задачи, то можно считать, что все коэффициенты целые. Пусть старший коэффициент $a_{n}$, а младший $a_{0}$. Тогда если рассмотреть $r=a_{0}+p_{1}, p_{1} \in \mathbb{P}$. И $p, q$ такие, что $(p,q)=1, P(\frac{p}{q}) = r \Rightarrow p | r - a_{0} = p_{1}, q | a_{n}$. Значит $p \in \{-1, 1, p_{1}, -p_{1}\}$. Так как таких $r$ бесконечно много, тогда и таких пар $(p, q)$ бесконечно много. Отсюда пар $(p, q)$, где $p \in \{p_{1}, -p_{1}\}$ бесконечно много, так как в противном случае $|\frac{p}{q}| \leq 1$ и значит $P(x)$ не может принимать сколь угодно большие значения. БОО, пусть бесконечно много пар $(p, q)$ в которых $p=p_{1}$. Так как количество делителей числа $a_{n}$ конечно, то существует такой делитель $d$, для которого существуют бесконечно много $p_{1} \in \mathbb{R}$ таких, что $P(\frac{p_{1}}{d})=p_{1}+a_{0}$. Пусть $Q(x) = P(\frac{x}{d})$, тогда в бесконечно большом количестве точек $Q(x)=x+a_{0}$, значит $Q(x) \equiv x + c$ линейный многочлен. Тогда $P(x) = dx+c$ искомый многочлен.