8-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2008 жыл

Натурал $a,b,c,d$ сандары мынадай: $d$ саны ${{a}^{2b}}+c$ санын қалдықсыз бөледі және $d\ge a+c$. Онда $d\ge a+\sqrt[2b]{a}$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Перепишем условие в виде $a^{2b}+c \equiv (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d}$. Это сравнение несложно проверить раскрыв $(d-a)^{2b}$ по биному. Тогда так как $ (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d} \Rightarrow (d-a)^{2b} + c \geq d \geq a+c \Rightarrow (d-a)^{2b} \geq a \Rightarrow d \geq a + \sqrt[2b]{a}$, что и требовалось доказать.

гениально