Эйлер атындағы олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Қатарға әр түрлі 1000 оң сан өсу ретімен жазылған. Вася осы сандарды 500 көрші жұптарына бөліп, әр жұптағы сандардың қосындысын тапты. Ал Петя болса, әр жұптағы екі санның арасында дәл үш сан болатындай осы сандарды 500 жұпқа бөлді және ол да әр жұптағы сандардың қосындысын тапты. Петя тапқан қосындылардың көбейтіндісі Вася тапқан қосындылардың көбейтіндісінен үлкен екенін дәлелде. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Лемма. Пусть $a < d$, а $b < c$. Тогда $(a+b)(c+d) < (a+c)(b+d)$.
Доказательство. $(a+c)(b+d) - (a+b)(c+d) = ab+cd-ac-bd = (a-d)(b-c) > 0$.
Решение задачи. Разобьем всю тысячу чисел на 125 восьмёрок из идущих подряд чисел. Возьмем первую восьмерку: $a_1 < \dots < a_8$. У Васи она даст суммы $a_1+a_2$, $a_3+a_4$, $a_5+a_6$, $a_7+a_8$, у Пети — суммы $a_1+a_5$, $a_2+a_6$, $a_3+a_7$, $a_4+a_8$. По лемме $(a_1+a_2)(a_5+a_6) < (a_1+a_5)(a_2+a_6)$ и $(a_3+a_4)(a_7+a_8) < (a_3+a_7)(a_4+a_8)$. Осталось проделать то же самое для остальных 124 восьмерок и перемножить полученные неравенства.
Замечание. Тот использованный при доказательстве леммы факт, что если $a < d$ и $b < c$, то $ab+cd > ac+bd$, достаточно широко известен под названием транснеравенство.