Ciprus


Задача №1.  Пусть $ a,b,c,x,y$ — действительные числа такие, что $ a^3 + ax + y = 0$, $ b^3 + bx + y = 0$ и $ c^3 + cx + y = 0$. Докажите, что если $ a,b,c$ попарно различные числа, что их сумма равна 0. ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Две окружности разных радиусов с центрами в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ пересекаются в точках $A$ и $B$ так, что центры $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на разных сторонах от прямой $AB$. Прямые $BO_{1}$ и $BO_{2}$ пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Пусть $M$ — середина отрезка $B_{1}B_{2}$. $M_{1}$ и $M_{2}$ — точки взятые на окружностях с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно так, что $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$, $B_{1}$ лежит внутри $\angle AO_1M_1$, $B$ лежит внутри $\angle AO_2M_2$. Докажите, что $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$. ( Ciprus )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3.  Пусть $\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Выразите следующее выражение через $k$: $E(x,y) = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \dfrac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}.$ ( Ciprus )
комментарий/решение(1) олимпиада