Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год


Задача №1.  Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть $a,b,c$ — стороны треугольника с периметром 1, $S$ — площадь этого треугольника. Докажите неравенство \[\sqrt {\frac{{3a}}{{b + c - a}}} + \sqrt {\frac{{3b}}{{a + c - b}}} + \sqrt {\frac{{3c}}{{a + b - c}}} \le \frac{1}{{4S}}.\] ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Дано некоторое натуральное число $n$. Город имеет форму некоторой связной клетчатой фигуры из $n$ клеток, в каждой клетке которой живет ровно один человек. Однажды один человек в городе заболел коронавирусом. Затем каждый день происходило следующее: все, болевшие в предыдущий день, выздоравливают, а все, не болевшие, имевшие в предыдущий день хотя бы одного болевшего соседа по стороне, заболевают. Обозначим как $f(n)$ — наибольшее возможное отношение числа заболевших к числу здоровых в некоторый момент времени, при данном $n$ и всевозможных формах города и позиции первого заболевшего. Найдите $f(n)$ как функцию от $n$. ( Абдрахманов А. )
комментарий/решение
Задача №4.  Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — описанные окружности треугольников $AEB$ и $CED$, соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_1$ выбрана точка $P$, а на дуге $CD$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_2$ выбрана точка $Q$ так, что $\angle AEP = \angle QED$. Отрезок $PQ$ пересекает $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $PX=QY$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение