қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
(
М. Дидин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стерли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Дано натуральное число $n$. Множество $A$, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа $m$, не превосходящего $n$, во множестве $A$ есть число, делящееся на $m$. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества $A$?
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи? В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий и число использованных операций не должно зависеть от $n$.
(
И. Богданов,
Д. Белов
)
комментарий/решение
комментарий/решение