Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс


Задача №1.  Определите все натуральные числа $n = p_1 p_2 \dots p_k$, которые являются делителем числа $(p_1 + 1)(p_2 + 1) \dots (p_k + 1)$, где $p_1 p_2 \dots p_k$ — разложение числа $n$ на простые множители (не обязательно различные).
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Обозначим центры вневписанных окружностей, касающихся сторон $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$, через $I_a$, $I_b$ и $I_c$ соответственно. Пусть $BM$ и $BN$ — биссектрисы треугольников $I_aBC$ и $I_cBA$ соответственно. Обозначим через $K$ точку касания вневписанной окружности со стороной $AC$. Докажите, что середина $MN$ равноудалена от $B$ и $K$.
комментарий/решение
Задача №3.  Определите все функции $f:(0, + \infty ) \to (0, + \infty )$ такие, что для любых положительных действительных чисел $x$, $y$ выполнено равенство $$ (x + y)f(f(x)y) = x^2 f(f(x) + f(y)). $$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дан треугольник $ABC$, вписанная окружность которого касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Пусть прямые $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $K$. Проведем через точку $K$ прямую параллельную стороне $AC$, которая пересекает прямые $A_1B_1$ и $C_1B_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $MK = KN$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Докажите, что для любого натурального числа $m$, имеющего делитель $n$, существует простое число $p$ такое, что $m^n-1$ делится на $p$, а число $m-1$ не делится на $p$.
комментарий/решение(1)
Задача №6. Два фокусника показывают трюк. Первый фокусник выходит из комнаты, а затем второй фокусник берёт колоду из 100 карт, пронумерованных числами от 1 до 100, и просит каждого из трех участников выбрать по очереди по одной карте, и при этом он видит какую карту взял каждый. Затем он сам добавляет еще одну карту к трем выбранным из оставшейся колоды. Участники вызывают первого фокусника, предварительно перемешав 4 карты произвольным образом, и дают ему их. Первый фокусник смотрит на эти 4 карты и «угадывает» какую карту выбирал каждый из участников. Докажите, что фокусники смогут исполнить этот трюк.
комментарий/решение(1)