Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

Определите все функции $f:(0, + \infty ) \to (0, + \infty )$ такие, что для любых положительных действительных чисел $x$, $y$ выполнено равенство $$ (x + y)f(f(x)y) = x^2 f(f(x) + f(y)). $$

Комментарий/решение

b_Ответ._b Такой функции не существует.

b_Решение._b Тождество можно переписать в виде

\[\frac{{x + y}}{{{x^2}}} = \frac{{f\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right)}}{{f\left( {f\left( x \right)y} \right)}}. \quad (1)\]Если $f(a)=f(b)$, для каких либо $a$ и $b$, то $f(f(a)+f(y))=f(f(b)+f(y))$.

Подставив в (1) $x=a$, получим \[\frac{{a + y}}{{{a^2}}} = \frac{{f\left( {f\left( a \right) + f\left( y \right)} \right)}}{{f\left( {f\left( a \right)y} \right)}}; \quad (2)\]

подставив $x=b$, получим

\[\frac{{b + y}}{{{b^2}}} = \frac{{f\left( {f\left( b \right) + f\left( y \right)} \right)}}{{f\left( {f\left( b \right)y} \right)}}. \quad(3)\]

Из (2) и (3) получим

$\frac{{a + y}}{{{a^2}}} = \frac{{b + y}}{{{b^2}}} \Rightarrow \frac{(b-a)(ab+y(a+b))}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}=0$,

откуда немедленно следует равенство $a=b$, так как

$y$ это число из интервала $(0, + \infty )$. Следовательно, $f$ "--- инъективная функция.

Пусть $P(x,y)$ будет означать, что $x$ и $y$ удовлетворяют тождеству

$$ (x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)).$$

Тогда из

$P\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{4}} \right)$, следует

$f\left( {\frac{3}{4}f\left( {\frac{3}{2}} \right)} \right) = f\left( {f\left( {\frac{3}{2}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right)$, а из инъективности следует, что

$\frac{3}{4}f\left( {\frac{3}{2}} \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right)$ или

$\frac{1}{4}f\left( {\frac{3}{2}} \right) + f\left( {\frac{3}{4}} \right) = 0$. А последнее равенство противоречит условию

$f:{(0, + \infty )} \to {(0, + \infty )}$.