қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Математикалық олимпиадаға 45 оқушы қатысты. Қатысушыларға алты есеп ұсынылды. Әр есеп 0-ден 7-ге дейінгі бүтін ұпай санымен бағаланады. Нәтижелердің айырмашылығы 1 ұпайдан аспайтын 3 оқушының табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы үшін келесі шарт орындалады: $BC$ кесіндісінде $AX^2=BX\cdot CX$ теңдігі орындалатындай жалғыз ғана $X$ нүктесі бар. $AB+AC=BC \sqrt{2}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. $x,$ $y,$ $z$ оң сандары үшін $2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z)=108$ теңдігі орындалады. $x^3 y^2 z$ өрнегінің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $AH$ биіктігі жүргізілген. $A_1,$ $B_1,$ $C_1$ нүктелері сәйкесінше $BC,$ $AC,$ $AB$ қабырғаларының орталары. $K$ нүктесі $B_1$ нүктесіне $BC$ түзуіне қатысты симметриялы нүкте. $C_1K$ түзуінің $HA_1$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Әрқайсысының кемінде 11 бөлгіші бар $a$ және $b$ натурал сандары болсын. $a$ және $b$ сандарының бөлгіштерін өсу ретімен жазып, сәйкесінше $1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ және $1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$ (шекті) тізбектері алынды. Егер $a_{10}+b_{10}=a$ және $a_{11}+b_{11}=b$ екені белгілі болса, $a$ және $b$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Салмақтары $m_1,$ $m_2,$ $\ldots,$ $m_n,$ болатын $n$ $(n \ge 2)$ гір тастары берілген, мұндағы әрбір $k=1,2,\ldots,n$ үшін $m_k$ — бүтін сан және $1 \le m_k\le k$. Егер $m_1+m_2+\ldots+m_n$ салмақтардың қосындысы жұп сан болса, осы гір тастарын салмақтарының қосындысы тең болатындай екі топқа бөлуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)