Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс


Задача №1. Дан квадрат $ABCD$. На отрезках $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$, не совпадающие с концами отрезков, соответственно, так, что $MN=MD$. Найдите величину угла $\angle MDN$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Взаимно простые числа $a,~b$ ($a>b$) удовлетворяют соотношению $\dfrac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{\left( a-b \right)}^{3}}}=\dfrac{73}{3}$. Вычислите значение $a-b$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый — на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Существует ли простое число вида ${{k}^{4}}+64$, где $k$ — целое число?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Длина высоты $AD$ треугольника $ABC$ в два раза меньше длины стороны $BC$. Может ли угол $A$ быть тупым?
комментарий/решение(2)
Задача №6.  При каких значениях параметра $a$ система $ \left\{ \begin{matrix} x+y+z=a+1, \\ xy+yz+zx=2a, \\ xyz=a, \\ \end{matrix} \right. $ имеет решение в вещественных числах?
комментарий/решение(1)