Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 9 класс

Дан квадрат $ABCD$. На отрезках $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$, не совпадающие с концами отрезков, соответственно, так, что $MN=MD$. Найдите величину угла $\angle MDN$.

Комментарий/решение

Построим окружность $\omega (M; MD)$, тогда $M \in AC$, $AC \perp AD$, $D \in \omega$, значит $B \in \omega$.

$\angle NMD$ - центральный угол, $NBD$ - вписанный угол, тогда $\angle NMD= 2 \angle NBD = 90^{\circ}$. Значит, $\triangle NMD$ - прямоугольный равнобедренный, тогда $\angle MDN = 45^{\circ}$.

показать/скрыть код

Есепті шығару

1) NCД үшбұрышына сырттай шеңбер сызсақ, онда ол шеңбер АС диагоналимен белгілі бір М нүктесінде қиылысады. Сонда $\angle NCM = \angle MDN$, ал $\angle NCM = 45^\circ$ болғандықтан, ізделінді $\angle MDN = 45^\circ$ (3 - сурет).

2) $\angle MCD = \angle MND = 45^\circ$, ендеше $\triangle MND$ тікбұрышты әрі теңбүйірлі, яғни $MN = MD$ есеп шарты орындалады.

Жауабы: $\angle MDN = 45^\circ$.