Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур регионального этапа


Задача №1.  На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В полдень Вася положил на стол 10 вырезанных из бумаги выпуклых десятиугольников. Затем он время от времени брал ножницы, разрезал по прямой один из лежащих на столе многоугольников на два и клал оба получившихся куска назад на стол. К полуночи Вася проделал такую операцию 51 раз. Докажите, что в полночь среди лежащих на столе многоугольников был треугольник или четырёхугольник. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D.$ Известно, что $\angle BAC = 2\alpha,$ $\angle ADC = 3\alpha ,$ $\angle ACB = 4\alpha.$ Докажите, что $BC+CD = AB.$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  На клетчатой белой доске размером $25\times25$ клеток несколько клеток окрашено в чёрный цвет, причём в каждой строке и каждом столбце окрашено ровно 9 клеток. При каком наименьшем $k$ заведомо можно перекрасить $k$ клеток в белый цвет таким образом, чтобы нельзя было вырезать чёрный квадрат $2\times2$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Докажите, что существует натуральное число $n$, большее $10^{100},$ такое, что сумма всех простых чисел, меньших $n,$ взаимно проста с $n.$ ( Р. Салимов )
комментарий/решение(1)