Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год


Задача №1.  Даны действительные числа $a,b,c,d$ для которых выполнено неравенство $abcd>0$. Докажите, что существует перестановка $x,y,z,w$ чисел $a,b,c,d$ такая, что $2(xy+zw)^2 > (x^2+y^2)(z^2+w^2).$
комментарий/решение
Задача №2.  Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$, а их общая внешняя касательная касается $O_1$ и $O_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\Gamma$, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает $O_1$ и $O_2$ в точках $D$ и $C$ соответственно. Докажите, что $\displaystyle \frac{CP}{CQ}=\frac{DP}{DQ}.$
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа такие, что $k \leq {n-2}$. Известно, что абсолютное значение суммы элементов любого $k$-элементного подмножества множества $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ не больше 1. Докажите, что если $|a_1|\geq1$, то для любого $2\leq i \leq n$ верно $|a_1|+|a_i|\leq2.$
комментарий/решение
Задача №4.  Для каждой последовательности из $n$ чисел $\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{n-1}}}, a_{n}\right)$ операцию ее замены на новую последовательность $ (a_1+a_2, a_2+a_3, \cdots, a_{n-1}+a_n, a_n+a_1)$ назовем трансформацией.
Найдите все пары целых чисел $(n,k)$, с условием $n,k\geq 2$, таких, что для любых $n$ целых чисел $(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)$, после конечного числа применений трансформации, каждое число новой последовательности кратно $k$.
комментарий/решение
Задача №5.  Докажите, что существует бесконечно много троек $(a,b,c)$, где $a,b,c$ — попарно взаимно простые натуральные числа, таких, что числа $ab+c ,bc+a ,ca+b$ также являются попарно взаимно простыми.
комментарий/решение
Задача №6.  Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — неотрицательные действительные числа и $S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i $ $(1\le k\le n)$. Докажите неравенство $$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$
комментарий/решение
Задача №7.  Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны. Докажите, что одна из общих внешних касательных к окружностям, вписанных в треугольники $ABC$ и $ADC$, параллельна прямой $BD$.
комментарий/решение
Задача №8.  Даны взаимно простые натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $2\leq m < n$. Определите наименьшее возможное натуральное число $k$, удовлетворяющее следующим условиям: для любого $m$-элементного подмножества $I$ множества $\{1,2,\cdots,n\}$, если $\sum\limits_{i \in I} i > k$, то существует последовательность, состоящая из $n$ действительных чисел $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ такая, что \[\frac{1}{m}\sum\limits_{i \in I} {{a_i}} > \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} .\]
комментарий/решение
результаты