Западно-Китайская математическая олимпиада, 2016 год

Даны действительные числа $a,b,c,d$ для которых выполнено неравенство $abcd>0$. Докажите, что существует перестановка $x,y,z,w$ чисел $a,b,c,d$ такая, что $2(xy+zw)^2 > (x^2+y^2)(z^2+w^2).$

Комментарий/решение

Возьмём, что $x\geq y \geq z \geq w$. Раскроем скобки: $2x^2y^2+4xyzw+2z^2w^2>x^2z^2+x^2w^2+y^2z^2+y^2w^2$.

$x^2y^2+z^2w^2 \geq x^2z^2+y^2w^2$

$x^2y^2+z^2w^2 \geq x^2w^2+y^2z^2$ по транснеравенству.

$2x^2y^2+2z^2w^2 \geq x^2z^2+x^2w^2+y^2z^2+y^2w^2$

$xyzw > 0$ т.к. $abcd > 0$. И получаем:

$2x^2y^2+4xyzw+2z^2w^2>x^2z^2+x^2w^2+y^2z^2+y^2w^2$