Западно-Китайская математическая олимпиада, 2005 год


Задача №1.  Известно, что выражение $a^{2005} + b^{2005}$ можно представить в виде многочлена от $a + b$ и $ab$. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
комментарий/решение
Задача №2.  Даны три точки $P$, $A$, $B$ и окружность, такие, что прямые $PA$ и $PB$ касаются окружности в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$, пересекает окружность в точках $C$ и $D$. Через точку $B$ проведена прямая, параллельная $PA$. Пусть она пересекает прямые $AC$ и $AD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $BE = BF$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $S = \{1, 2, 3, \ldots , 2005\}$. Найдите наименьшее $n$ такое, что среди любых $n$ попарно взаимнопростых чисел из $S$ есть хотя бы одно простое.
комментарий/решение
Задача №4.  Дано натуральное $n > 2$. Действительные числа $\mid x_i \mid \leq 1$ ($i = 1, 2, \ldots , n$) удовлетворяют неравенству $\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right| > 1.$ Докажите, что существует натуральное $k$ такое, что $\left| {\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}} - \sum\limits_{i = k + 1}^n {{x_i}} } \right| \le 1.$
комментарий/решение
Задача №5.  Окружности $C(O_1)$ и $C(O_2)$ пересекаются в точках $A$, $B$. $CD$ проходит через $O_1$, пересекает $C(O_1)$ в точке $D$ и касается $C(O_2)$ в точке $C$. $AC$ касается $C(O_1)$ в $A$. $E$ - такая точка, что $AE \bot CD$ и $AE$ пересекает $C(O_1)$ в $E$. $F$ - такая точка, что $AF \bot DE$ и $AF$ пересекает $DE$ в $F$. Докажите, что $BD$ делит пополам $AF$.
комментарий/решение
Задача №6.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ ABC$ $ CA = CB = 1$. $ P$ — произвольная точка на одной из сторон $ ABC$. Найдите максимум выражения $ PA \cdot PB \cdot PC$.
комментарий/решение
Задача №7.  $ a,b,c$ — положительные числа, для которых выполняется равенство $ a+b+c=1$. Докажите, что $ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1$.
комментарий/решение
Задача №8.  Про каких-то $ n$ человек известно, что:
(i) среди любых трех человек есть двое, которые знают друг друга;
(ii) среди любых четырех человек есть двое, которые не знают друг друга (предполагается, что если $A$ знает $B$, то и $B$ знает $A$).
Найдите наибольшее возможное значение $ n$.
комментарий/решение