Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Есеп №1. Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ нүктелері болатын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $X$ нүктесі $\omega_2$-де, ал $Y$ нүктесі $\omega_1$-де $\angle{XBY}=90^\circ$ болатындай жатыр. $X'$ нүктесі $O_1X$ түзуі мен $\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі, ал $K$ нүктесі $X'Y$ түзуі мен $\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі болып табылады. $X$ нүктесі $\omega_2$-нің $AK$ доғасының ортасы болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне дұрыс $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған. $P$ нүктесі — $BC$ доғадан алынған нүкте болсын. $\omega$-ға $P$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындысын $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $\angle{KOL} > 90^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болып табылады. $H$ нүктесі арқылы өзара перпендикуляр $l_1$ және $l_2$ түзулері жүргізілген. $l_1$ түзуі $BC$ қабырғасы мен $AB$ қабырғасының созындысын сәйкесінше $D$ және $Z$ нүктелерінде қияды. Ал $l_2$ түзуі $BC$ қабырғасы мен $AC$ қабырғасының созындысын сәйкесінше $E$ және $X$ нүктелерінде қияды. Жазықтықтағы $Y$ нүктесі — ${YD\parallel AC}$ және ${YE\parallel AB}$ болатындай нүкте. $X, Y, Z$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышы берілген. Центрі $A$ нүктесінде және радиусы $AB$ болатын шеңбер $AC$ түзуін екі нүктеде қияды. Центрі $A$ нүктесінде және радиусы $AC$ болатын шеңбер $AB$ түзуін екі нүктеде қияды. Осы төрт нүктені $A_1, A_2, A_3, A_4$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты келесі төрт $B_1, B_2, B_3, B_4$ және $C_1, C_2, C_3, C_4$ нүктелерін анықтаймыз. Осы 12 нүкте екі шеңберде жатсын. $ABC$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының сыртына қарай $ABA_1B_2$, $BCB_1C_2$, $CAC_1A_2$ тіктөртбұрыштары сызылған. Жазықтықтағы $C'$ нүктесі $C'A_1\perp A_1C_2$ және $C'B_2\perp B_2C_1$ болатындай нүкте болсын. $A'$ және $B'$ нүктелері дәл сол сияқты анықталады. $AA'$, $BB'$, $CC'$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение