3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы


Задача №1.  На боковых сторонах трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $X$ и $Y$ произвольные точки на $\omega_1$ и $\omega_2$, соответственно. Докажите, что длина отрезка $XY$ не превосходит половины периметра четырёхугольника $ABCD$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Окружности $C_1$ и $C_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная в точке $A$ к окружности $C_1$ пересекает $C_2$ в точке $P$. Прямая $PB$ пересекает $C_1$ второй раз в точке $Q$ ($Q$ лежит вне $C_2$). Касательная к $C_2$, проходящая через точку $Q$, пересекает $C_1$ и $C_2$ в точках $C$ и $D$, соответственно. Точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$. Докажите, что $AD$ является биссектрисой угла $CAP$.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все натуральные числа $N$, для которых существует треугольник, который можно разрезать на $N$ подобных четырёхугольников.
комментарий/решение
Задача №4.  Касательная в точке $A$ описанной окружности $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle A=90^{\circ}$) пересекает прямую $BC$ в точке $P$. $M$ — середина дуги $AB$, не содержащей вершину $C$. Прямая $PM$ пересекает $\omega$ второй раз в точке $Q$. Касательная к $\omega$ в точке $Q$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $\angle PKC=90^{\circ}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Окружности $\omega$ и $\omega'$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Касательная к окружности $\omega$ в точке $A$ пересекает $\omega'$ в точке $C$; касательная к окружности $\omega'$ в точке $A$ пересекает $\omega$ в точке $D$. Биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Внешняя биссектриса угла $CAD$ пересекает $\omega$ и $\omega'$ в точках $X$ и $Y$, соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку $XY$ касается описанной окружности треугольника $BEF$.
комментарий/решение