3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, вторая лига, 9-10 классы

На боковых сторонах трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $X$ и $Y$ произвольные точки на $\omega_1$ и $\omega_2$, соответственно. Докажите, что длина отрезка $XY$ не превосходит половины периметра четырёхугольника $ABCD$.

Комментарий/решение

$$\omega_1: AD=2R_1=2\cdot TO_1$$

$$ \omega_2: BC=2R_2=2\cdot KO_2$$

$$\square ABCD: O_1O_2=\frac{AB+CD}{2}$$

$$XY<TK=TO_1+O_1O_2+O_2K=R_1+O_1O_2+R_2=$$ $$=\frac{AD}{2}+\frac{AB+DC}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}=\frac{S_{\square ABCD}}{2} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow XY<\frac{S_{\square ABCD}}{2} $$