13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Сараево, Босния и Герцеговина, 2009 год


Задача №1.  Дан выпуклый пятиугольник $ ABCDE$, в котором $ AB+CD=BC+DE$. Окружность $ k$, центр которой лежит на стороне $AE$, касается сторон $ AB$, $ BC$, $ CD$ и $ DE$ в точках $ P$, $ Q$, $ R$ и $ S$ (отличные от вершин пятиугольника) соответственно. Докажите, что прямые $ PS$ и $ AE$ параллельны.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Решите уравнение $ 2^{a} \cdot 3^{b} + 9 = c^{2}$ в целых неотрицательных числах.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ x$, $ y$, $ z$ — действительные числа такие, что $ 0 < x,y,z < 1$ и $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ (1 - x)y$, $(1 - y)z$, $(1 - z)x$ не меньше $ \frac {1}{4}$.
комментарий/решение
Задача №4.  Каждый из 2009 различных точек на плоскости покрашена в синий или красный цвет так, что на каждой единичной окружности с синим центром лежит ровно две красные точки. Найдите максимально возможное количество синих точек.
комментарий/решение
результаты