13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровСараево, Босния и Герцеговина, 2009 год

Решите уравнение $ 2^{a} \cdot 3^{b} + 9 = c^{2}$ в целых неотрицательных числах.

Комментарий/решение

Ответ: $a=4,b=0,c=5$

Заметим что , $ 2^a \cdot 3^b +9=c^2 $ является нечетным $\Rightarrow 2^a \cdot 3^b +9=c^2=(2k+1)^2 =4k^2 +4k+1 \Rightarrow$

$\Rightarrow k(k+1)=\frac{2^a}{4} \cdot 3^b +2=2(\frac{2^a}{8} \cdot 3^b +1)$

Т.к $k$ и $k+1$ взаимно просты,то одного их них делит 2 $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ проверив каждую,находим что 2 делит $k$

$k=1,2$

при $k=1 , c^2 = 9$,чего не может быть

при $k=2 , c^2 = 25 \Rightarrow 2^a \cdot 3^b = 16 \Rightarrow a=4 , b=0 ,c=5$

Извините, c может быть нечетным при a=0, значит решение не верно. По крайней мере есть ответ a=0, b=3, c=6

Извиняюсь тот был первый случай,второй случай-если уравнение четное:

Тогда $3^b + 9=c^2$ $\Rightarrow 9(\dfrac{3^b}{9} + 1) = c^2$

$\dfrac{3^b}{9} + 1 =n^2$

Единственный возможный $n^2=4$ $ \Rightarrow b=3 $

$3^3+9=36$$\Rightarrow c=6$

a=0,b=3,c=6

Упущено еще 1 решение: a=3, b=2, c=9

Ещё есть решение: $a=4,b=3,c=21$. Не люблю такие задачи здесь нужно рассмотреть примерно 10 случаев.

P.S. Я решил эту задачу здесь нужно рассмотреть 9 случая и есть 7 решения.

ахахахха, same

можете скинуть примерный план решения? Я вышел к уравнению $2^a-1=3^b$, вроде бы элементарно, но не могу решить

Ладно сейчас скину полное решение. А уравнения которое вы указали решается так: с помощью мод 3 находите что $а$ чётное (но до этого нужно рассмотреть частные случае), а потом вы наверное уже понимаете

"а потом вы наверное уже понимаете", тут бы подошли слова Стэнли когда он впервые увидел портал (я хочу сказать, что не понял)

P.S. а уже понял

Жаль я не понял вашу отсылку. Я не смотрел Гравити Фолз.

$Ответ: (a,b,c)=(0,3,6),(4,0,5),(3,2,9),(4,3,21),(3,3,15),(5,4,51)$

При решении задачи я буду использовать новые переменные и все они будут неотрицательными целыми числами, и при каждом случае несмотря на то что я их написал одинаково они не имеют отношения к друг-другу. Сперва избавимся от частных случаев:

$a=0$,$3^b=(c-3)(c+3)$. Обозначим $c-3=3^x,c+3=3^y$, где $x+y=b$. $6=3^y-3^x$, $y=2,x=1$. Далее выходит что $b=3,c=6$.

$b=0$, $2^a=(c-3)(c+3)$. Обозначим $c-3=2^x,c+3=2^y$, где $x+y=a$. $6=2^y-2^x$. Выходит что $y=3,x=1$, $a=4,c=5$.

Теперь будем считать что $a,b$ натуральны. Так как $2^a3^b=(c-3)(c+3)$, обозначим $c-3=2^x3^y,c+3=2^z3^t$. Очевидно что $x,y,z,t$ натуральны. Далее $6=2^z3^t-2^x3^y$, из чего выходит что $min(x,z)=min(y,t)=1$. Теперь рассмотрим $4$ случая:

$I)z=t=1$, решений нет.

$II)x=y=1$, $z=2,t=1$. Далее $a=3,b=2,c=9$

$III)t=x=1$, $1=2^{z-1}-3^{y-1}$, случай $y=1$ был рассмотрен в $II)$. Значит $y \leq 2$, значит при $mod3$: $2^{z-1} \equiv 1$, $z-1$ чётное. $3^{y-1}=(2^{(z-1)/2}-1)(2^{(z-1)/2}+1)$, обозначим $2^{(z-1)/2}-1=3^p, 2^{(z-1)/2}+1=3^q$. $2=3^q-3^p$. $q=1,p=0$, $y=2,z=3$, $a=4,b=3,c=9$.

$IV)z=y=1$. $1=3^{t-1}-2^{x-1}$. При $x=1$ решений нет. При $x=2$ выходит что $a=3,b=3,c=15$. При $x geq 3$ если рассмотреть $mod4$, выходит что $t-1$ чётное. Далее $2^{x-1}=(3^{(t-1)/2}-1)(3^{(t-1)/2}+1)$, обозначим $3^{(t-1)/2}-1=2^p,3^{(t-1)/2}+1=2^q$. Далее $2=2^q-2^p$, из чего выходит что $q=2,p=1$, потом $x=4,t=3$, и $a=5,b=4,c=51$.

эту задачу создал демон, так ещё и поставил второй..

вполне нормально но сколько случаев..