11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Шумен, Болгария, 2007 год

Задача №1.  Пусть $a$ такое положительное действительное число, для которого выполнено равенство $a^{3}=6(a+1)$. Докажите, что уравнение $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ не имеет действительных корней.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ и $\angle{BAC}= 72^\circ$. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $P$. Найдите значение угла $APD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  На плоскости даны 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждую из данных точек покрасили в один из четырёх цветов. Докажите, что существует не менее 130 разносторонних треугольников, все вершины которого имеют один и тот же цвет.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть $ p$ — простое число. Докажите, что число $ 7p+3^{p}-4$ не является полным квадратом.
комментарий/решение(10)

---