11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Шумен, Болгария, 2007 год

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ и $\angle{BAC}= 72^\circ$. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $P$. Найдите значение угла $APD$.

Комментарий/решение

Опустим из точки $C$ на диагональ $BD$ прямую , такую что $CX=CD$ , $X \in BD$ , тогда четырехугольник $AXCD$ описанный , откуда получаем $BX=CX=CD$. Можно попробовать дальше доказать так , $AX,AP$ биссектрисы углов $\angle BAP , \angle DAX$ соответственно , тогда $$ \dfrac{BX}{XP} = \dfrac{AB}{AP}$$ $$ \dfrac{XP}{PD} = \dfrac{AX}{AD}$$ Получим , в результате умножение выше описанных соотношений $\dfrac{BX}{PD} = \dfrac{AB \cdot AX}{AP \cdot AD}$ , выражение перейдет , в уравнение $$ sin( \angle DCA -36^{\circ}) = sin(108^{\circ} - \angle DCA ) $$ , то есть $ \angle DCA = 72^{\circ}$ , тогда $\angle APD = 108^{\circ}$