Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год


Задача №1.  Сколько шестибуквенных слов можно составить из букв М, Е, Д, А, Л, Ь, в которых хотя бы одна буква встречается более одного раза?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Для всякой конечной арифметической прогрессии ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ докажите равенство $\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}{{a}_{k}}}=0$.
комментарий/решение
Задача №3.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $M$. Через точку $M$ проведены прямые ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ такие, что ${{l}_{1}} \parallel AB$ и ${{l}_{2}} \parallel CD$. Положим $P$ — точка пересечения ${{l}_{1}}$ и $CB$, $Q$ — точка пересечения прямой ${{l}_{2}}$ и $AD$. Докажите, что середина отрезка $PQ$ лежит на $FE$, где $F$ — середина $DC$, $E$ — середина $AB$.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что если целые положительные числа ${{n}_{1}}$, ${{n}_{2}}$, $\ldots $, ${{n}_{k}}$ удовлетворяют следующим соотношениям: ${{n}_{1}}|{{2}^{{{n}_{2}}}}-1$, ${{n}_{2}}|{{2}^{{{n}_{3}}}}-1$, $\ldots $, ${{n}_{k}}|{{2}^{{{n}_{1}}}}-1$, то ${{n}_{1}}={{n}_{2}}=\ldots ={{n}_{k}}=1$.
комментарий/решение
Задача №5.  Для каждого натурального числа $n$ найдите такое число $m$, что ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Арман и Алия пригласили четыре семейные пары на годовщину своей свадьбы. Некоторые участники встречи обменялись подарками. Однако мужья не дарили своим женам, а жены не дарили своим мужьям. Когда все сели за стол, Арман спросил у всех сколько они сделали подарков. Оказалось, что все сделали разное число подарков. Сколько подарков получила Алия?
комментарий/решение
Задача №7.  Пусть даны целые положительные числа $m$, $n$ такие, что $\dfrac{m}{n} < \sqrt{7}$. Докажите неравенство $\dfrac{{{m}^{2}}+1}{mn} < \sqrt{7}$.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Пусть даны различные точки ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{2014}}$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Пусть существуют точки $P$ и $Q$ такие, что $${{A}_{1}}P+{{A}_{2}}P+\ldots +{{A}_{2014}}P={{A}_{1}}Q+{{A}_{2}}Q+\ldots +{{A}_{2014}}Q=2013.$$ Докажите, что существует точка $K$ такая, что $${{A}_{1}}K+{{A}_{2}}K+\ldots +{{A}_{2014}}K < 2013.$$
комментарий/решение