Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Для каждого натурального числа $n$ найдите такое число $m$, что ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$.

Комментарий/решение

Возведя в квадрат

$(3-\sqrt{8})^n=2m-1-2 \cdot \sqrt{m(m-1)}$

$2m-1=x$

$(3-\sqrt{8})^n=x-\sqrt{\dfrac{x^2-1}{4}}$

перенеся $x$ и возведя снова в квадрат

$x=\dfrac{(3-\sqrt{8})^{-n} + (3-\sqrt{8})^n}{2}$

$m=\dfrac{(3-\sqrt{8})^{-n} + (3-\sqrt{8})^n+2}{4}$

$$(\sqrt{m}-\sqrt{m-1})(\sqrt{m}+\sqrt{m-1})=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \begin{cases} \sqrt{m}-\sqrt{m-1}=(\sqrt{2}-1)^n \\ \sqrt{m}+\sqrt{m-1}=(\sqrt{2}-1)^{-n} \end{cases}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \sqrt{m}=\frac{1}{2} \Bigg( (\sqrt{2}-1)^n+(\sqrt{2}-1)^{-n} \Bigg) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow m=\frac{1}{4}\Bigg( (\sqrt{2}-1)^{2n}+(\sqrt{2}-1)^{-2n} +2\Bigg) $$