I математическая олимпиада «Шелковый путь», 2002 год


Задача №1.  В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности. Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью $(P \ne A)$, $D$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$, а $Q$ — точка пересечения прямой $PD$ с описанной окружностью ($Q \ne P$). Докажите, что $PI=QI$, если отрезок $PD$ равен радиусу вписанной окружности.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $n$ натуральное число $n > 2$ и $a_1,a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R}^+$ — положительные действительные числа. Даны произвольные натуральные числа $t$, $k$, $p$, причем $1 < t < n$, положим также $m=k+p$. Докажите следующие неравенства: \[1) \quad \frac{{a_1^p}}{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}} + \frac{{a_2^p}}{{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t + 1}^k}} + \cdots + \frac{{a_{n - 1}^p}}{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}} + \frac{{a_n^p}}{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}} \ge \frac{{{{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)}^2}}}{{(t - 1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}}\] \[2) \quad \frac{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}}{{a_1^p}} + \frac{{a_3^k + a_4^k \cdots + a_{t + 1}^k}}{{a_2^p}} + \cdots + \frac{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}}{{a_{n - 1}^p}} + \frac{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}}{{a_n^p}} \ge \frac{{(t - 1){{(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)}^2}}}{{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}}\]
комментарий/решение
Задача №3.  В каждой единичной клетке некоторого конечного множества клеток бесконечной клетчатой доски записано целое число так, что сумма чисел в каждой строке, так же как и в каждом столбце, делится на $2002$. Докажите, что каждое число $a$ можно заменить на некоторое число $a'$, делящееся на $2002$ так, что $|a - a'| < 2002$ и суммы чисел во всех строках, и во всех столбцах не изменятся.
комментарий/решение
Задача №4.  Рассмотрим дробь $1/7=0.{\dot 1}4285{\dot 7}$, которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом $6=7-1$, и в одном периоде имеем $142+857=999$. Для $n=1,2,\dots$, определите необходимое и достаточное условие, чтобы дробь $1/(2n+1)$ обладала теми же свойствами, что и первая дробь и найдите две такие дроби, отличные от $1/7$.
комментарий/решение