Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс


Задача №1.  Вписанная в четырехугольник $ABCD$ окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Пусть $P$, $Q$, $R$, $S$ середины сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$. Докажите что $PR = QS$ тогда и только тогда, когда $ABCD$ вписанный.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Определите наименьшее возможное число $n > 1$ такое, что существует натуральные числа $a_1, a_2,\ldots, a_n,$ для которых ${(a_1+a_2+ \ldots+a_n)}^2-1$ делится на $a_1^2+a_2^2+ \ldots+a_n^2.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На некоторых клетках прямоугольной таблицы $m\times n$ $(m,n > 1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Выпишем в порядке возрастания число 1 и все натуральные числа, сумма цифр которых делится на 5. Получим последовательность $1$, $5$, $14$, $19$, $\ldots$. Докажите, что $n$-ый член последовательности меньше чем $5n$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$, $AB$. $Q$ и $L$ — точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. $T$ — точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1.$ $P$ — основание перпендикуляра из точки $L$ на прямую $AT$. Докажите, что точки $A_1$, $M$, $Q$, $P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Дано натуральное число $n$. Один из корней квадратного уравнения $x^2-ax+2n=0$ равен $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Докажите, что $2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
результаты