қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Төртінші дәрежелі $f\left( x \right)$ көпмүшелігінің нөлдері арифметикалық прогрессия құрайды. $f'\left( x \right)$ көпмүшелігінің нөлдері де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ — теңбүйірлі үшбұрыш ($AB=BC$), $I$ — оған іштей сызылған шеңбердің центрі. $P$ нүктесі $AIB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге тиісті, $P$ $ABC$ -ның ішінде жатыр. $P$ арқылы өтетін $CA$ мен $CB$-ға параллель түзулер $AB$-ны сәйкес $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $P$ арқылы өтетін $AB$-ға параллель түзу $CA$ мен $CB$-ны сәйкес $F$ және $G$ нүктелерінде қияды. $DF$ және $EG$түзулері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында қиылысатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $p\left( p+1 \right)+q\left( q+1 \right)=r\left( r+1 \right)$ теңдеуінің шай сандар жиынында шешіңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Тік бұрышты үстелде бірдей бірнеше квадрат парақтар жатыр, олардың жиектері үстелдің жиектеріне параллель (парақтар беттесуі мүмкін). Әрбір парақ үстелге тек бір түйреуішпен қадалатындай бірнеше түйреуішті түйреуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $AB\ne CD$ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы шеңберге іштей сызылған. $AKDL$ және $CMBN$ —қабырғалары $a$-ға тең болатын ромбтар. $K$, $L$, $M$ және $N$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $p$ жай саны үшін ${{p}^{2}}$ саны ${{2}^{p-1}}-1$ санына бөлінеді. Кез келген натурал $n$ саны үшін $\left( p-1 \right)\left( p!+{{2}^{n}} \right)$ санының үштен кем емес әртүрлі жай бөлгіштерінің бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Кез келген нақты $x$ пен $y$ үшін $f\left( xf\left( y \right)+f\left( x \right) \right)=2f\left( x \right)+xy$ шартын қанағаттандыратын $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)