қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс
Задача №1. Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите,
что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон
некоторого треугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Произведение квадратных трехчленов $x^2 +a_1x+b_1$, $x^2 +a_2x+b_2$,
$\dots$, $x^2 +a_n x+b_n$ равно многочлену
$P(x)= x^{2n} +c_1x^{2n-1} +c_2x^{2n-2} +\dots + c_{2n-1}x + c_{2n}$,
где коэффициенты $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_{2n}$ положительны.
Докажите, что для некоторого $k$ ($1 \leq k \leq n$) коэффициенты $a_k$ и $b_k$ положительны.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3.
В гоночном турнире 12 этапов и $n$ участников. После каждого
этапа все участники в зависимости от занятого места $k$ получают баллы $a_k$
(числа $a_k$ натуральны и $a_1 > a_2 > \dots > a_n$). При каком наименьшем $n$
устроитель турнира может выбрать числа $a_1$, $\dots$, $a_n$ так, что после
предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое
участников имели шансы занять первое место.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают его
стороны в точках $A_1$ и $C_1$, а описанную окружность этого треугольника —
в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямые $A_1C_1$ и $A_0C_0$ пересекаются в
точке $P$. Докажите, что отрезок, соединяющий $P$ с центром вписанной
окружности треугольника $ABC$, параллелен $AC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что для каждого $x$ такого, что $\sin x \neq 0$, найдется такое
натуральное $n$, что $|\sin nx| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. В тетраэдре $ABCD$ из вершины $A$ опустили перпендикуляры $AB'$, $AC'$,
$AD'$ на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах $CD$, $BD$,
$BC$ пополам. Докажите, что плоскость $(B'C'D')$ параллельна плоскости $(BCD)$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Докажите, что если натуральное число $N$ представляется в виде
суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также
представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в
белом квадрате $300 \times 300$, чтобы никакие три черные клетки не
образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие
нарушалось?
комментарий/решение
комментарий/решение