Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Произведение квадратных трехчленов $x^2 +a_1x+b_1$, $x^2 +a_2x+b_2$, $\dots$, $x^2 +a_n x+b_n$ равно многочлену $P(x)= x^{2n} +c_1x^{2n-1} +c_2x^{2n-2} +\dots + c_{2n-1}x + c_{2n}$, где коэффициенты $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_{2n}$ положительны. Докажите, что для некоторого $k$ ($1 \leq k \leq n$) коэффициенты $a_k$ и $b_k$ положительны.