қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Кез келген $1\le a\le b\le c\le d\le e\le f$ нақты сандары үшін $$(af+be+cd)(af+bd+ce)\le (a+{{b}^{2}}+{{c}^{3}})(d+{{e}^{2}}+{{f}^{3}})$$ теңсіздігін дәлелде.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Екі сәуледен және олардың бас нүктелерін қосатын кесіндіден тұратын жызықтықтағы сынық сызықты зигзаг деп атаймыз. Жазыктықты $n$ зигзагтың көмегімен жазықтықы ең көп дегенде қанша бөлікке бөлуге болады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Теменгі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардын $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ тізбегі табылады ма:
а) әрбір нагурал сан осы тізбекке кіреді және дәл бір рет қана кіреді;
б) әрбір $n=1,2,3,\ldots $ үшін ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ саны ${{n}^{n}}$ санына бөлінеді.
комментарий/решение
а) әрбір нагурал сан осы тізбекке кіреді және дәл бір рет қана кіреді;
б) әрбір $n=1,2,3,\ldots $ үшін ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ саны ${{n}^{n}}$ санына бөлінеді.
комментарий/решение
Есеп №4. Бір ауылдың 1000 тұрғыны бар. Күн сайын олардың әрқайсысы кешегі күні естіген жаналыктарымен өзінің барлық таныстарымен бөліседі. Кез келген жаңалык біраз күннен соң ауылдың барлық тұрғындарына жететіні белгілі. Мынадай 90 тұрғын таңдап алуга болатынын дәлелде: егер осы таңдап алған адамдардың бәріне бір мезгілде бір жаңалық айтсақ, ол 10 күннен соң ауылдың барлық тұрғыдарына жария болады.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Коэффициенттері нақты сан болатын $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін барлық $x$ үшін $P\left( x \right) > 0$. ${{\left( 1+x \right)}^{n}}P\left( x \right)$ көпмүшесінің коэффициенттері 0-ден кіші емес болатындай натурал $n$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots $ бүтін сандардың тізбегі келесі түрде табылады: ${{a}_{1}}=1$ және $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n+1}}$ ең кішкентай бүтін сан ${{a}_{n}}$-нен үлкен және ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}\ne 3{{a}_{k}}$ кез келген $i,j$ және $k$ үшін, $i,j$ және $k$ тиісті $\left\{ 1,2,\ldots ,n+1 \right\}$ және $k$ әртүрлі болуы міндетті емес. ${{a}_{2004}}$ санын тап.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Кез келген теріс емес нақты $a,b,c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелде: $$8{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge ({{a}^{2}}+ab+ac-bc)({{b}^{2}}+ba+bc-ac)({{c}^{2}}+ca+cb-ab).$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №8. Пусть $ABCD$ выпуклый четырехугольник с $AB$ не параллельным $CD$,
и пусть $X$ точка внутри $ABCD$ такая, что
$\angle ADX=\angle BCX < 90^\circ$ и
$\angle DAX=\angle CBX < 90^\circ$.
Если $Y$ точка пересечения серединных перпендикуляров $AB$ и $CD$, то докажите, что $\angle AYB=2\angle ADX$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)