қазақша
русский10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы
Есеп №1. $M$ және $N$ нүктелері — $ABCD$ квадратының, сәйкесінше, $AB$ және $BC$ қабырғаларының орталары (төменгі суретті қара). Суретте дұрыс алтыбұрыш пен дұрыс 12-бұрыш салынған. $P$, $Q$ және $R$ нүктелері — осы көпбұрыштардың центрлері. $PQRS$ — іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышының ішінде $P$ нүктесі алынған. $BCEF$ — квадрат, ал $ABP$ және $PCD$ үшбұрышының екеуі де тік төбелері, сәйкесінше, $B$ және $C$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар болсын. $AF$ және $DE$ түзулері $G$ нүктесінде қиылысады. ${GP \perp BC}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\omega$ шеңбері $\angle B=3\angle C$ болатын $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. $\angle A$ бұрышының ішкі биссектрисасы $\omega$-ны және $BC$-ны, сәйкесінше, $M$ және $D$ нүктелерінде қияды. $ME$ кесіндісі $\omega$-ның радиусына тең болатындай етіп $E$ нүктесі $CM$ түзуінде $M$-нен ары созындысынан (яғни $M$ нүкесі $C$ мен $E$ арасында) алынған. $ACE$ және $BDM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер өзара жанасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $P$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BAC$ доғасының ортасы. $H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $Q$ және $S$ нүктелері $HAPQ$ және $SACQ$ параллелограмдар болатындай нүктелер. $T$ нүктесі $AQ$-дің ортасы, ал $R$ нүктесі —$SQ$ және $PB$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $AB$, $SH$ және $TR$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Жазықтықта орналасқан $n$ нүкте үшін төбелері осы нүктелерде болатын төртбұрыштардың кемінде $99\%$-ы дөңес болып келеді. Берілген нүктелердің кемінде $90\%$-ы қандай да бір дөңес көпбұрыш төбелері болатындай етіп, осы жазықтықта дөңес көпбұрыш табылады ма?
комментарий/решение
комментарий/решение