10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, вторая лига, 9-10 классы
Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ с точкой $P$ внутри него. Предположим, что $BCEF$ — это квадрат, и $ABP$ и $PCD$ — прямоугольные равнобедренные треугольники с прямыми углами в вершинах $B$ и $C$. Прямые $AF$ и $DE$ пересекаются в точке $G$. Докажите, что $GP \perp BC$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Лемма:
Дан прямоугольник $ABCD$ и точки $E,F$ на его описанной окружности. Пусть $AE,BF$ пересекутся в $P$ и $CE,DF$ в $Q$, тогда $PQ \bot AB$.
$BA=BP,BF=BC, \angle ABP=\angle FBC, \angle ABF=\angle PBC\Rightarrow \triangle BAF=\triangle BPC$. Треугольники $BPC$ и $EDC$ равны по аналогии. $BP\cap DE=K,CP\cap AF=L$. $\angle LAB=\angle BPC=180^\circ-\angle LPB\Rightarrow \angle ABP=\angle ALP=90^\circ$, поэтому $L$ лежит на $(BCED)$. $K$ аналогично.
Тем самым из леммы:
$BCED$ - прямоугольник (квадрат), $L$ и $K$ на его описанной окружности, $BK\cap CL=P,FL\cap EK=G$, тогда $GP\bot BC$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.