27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год

Есеп №1. $a!+b$ және $b!+a$ сандары $5$-тің дәрежесі болатындай барлық натурал $(a,b)$ сандарының жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Барлық оң нақты $x,y,z$ сандары үшін $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3$$ теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік орындалатындай барлық $(x,y,z)$ үштіктерді анықтаңыз.
комментарий/решение(6)

Есеп №3. Алиса және Боб $100\times 100$ тор тақтасында келесі ойынды ойнайды. Олар кезектесіп жүреді, ойынды Алиса бастайды. Бастапқыда тақта ұяшықтары бос. Әр озінің жүрісінде ойыншы ұяшықтардың ешқайсысында әлі жазылмаған $1$-ден $100^2$-ға дейінгі кез келген бүтін санды таңдап, осы санды кез келген бос ұяшыққа жаза алады. Тақтада бос ұяшықтар қалмаған кезде, Алиса әр жолдағы сандардың қосындысын есептейді де, және осы 100 қосындының ең үлкені оның ұпайы болып табылады. Боб әр бағандағы сандардың қосындысын есептейді де, және сол 100 қосындының ең үлкені оның ұпайы болып табылады. Егер Алиса ұпайы Боб ұпайынан көп болса, Алиса жеңеді, егер Алиса ұпайы Боп ұпайынан аз болса, Боб жеңеді, кері жағдайда ешкім жеңбейді. Ойыншылардың қайсысында жеңіске жету стратегиясы бар жоқтығын анықтаңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $AD$ мен $O$ нүктесі, сәйкесінше, сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктігі мен сырттай сызылған шеңбер центрі. $M$ нүктесі — $OD$ кесіндісінің ортасы. $O_b$ және $O_c$ нүктелері сәйкесінше $AOC$ және $AOB$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері. Егер $AO=AD$ болса, $A$, $O_b$, $M$ және $O_c$ нүктелері бір шеңберде жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

результаты