Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 8 класс

Найдите все простые числа вида $2^{2^{\dots2}}+9$.

Комментарий/решение

b_Ответ: $11,\,13$._b

$2+9=11,\,2^2+9=13$.

Рассмотрим степенные башни при $n \geqslant 3$, т. е. числа вида $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}$, для которых, очевидно, показатель делится на $4$, но $2^{4k} \equiv 6 \pmod{10}$, значит $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}+9 \equiv 5 \pmod{10}$ или $\underbrace{2^{2^{\ldots^2}}}_{n \geqslant 3}+9 \, \vdots \, 5$.